已知f（x）=[1/3]ax3+[1/2]bx2+cx+d（a，b，c，d为常数且a≠0），g（x）=f′（x）（f′（

已知f（x）=[1/3]ax3+[1/2]bx2+cx+d（a，b，c，d为常数且a≠0），g（x）=f′（x）（f′（x）为f（x）的导数）．

（Ⅰ）若g（x）满足：①g′（0）＞0；②对于任意实数x，都有g（x）≥0．求μ=

g(1)

g′(0)

的最小值；

（Ⅱ）若a=1且对于任意实数x∈（-∞，0）有f′（x）＞0；对于任意实数x∈（0，4）有f′（x）＜0．求b的取值范围；

（Ⅲ）若a=1，b=-2e，讨论关于x的方程lnx=x•g（x）的根的个数．

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解题思路：（Ⅰ）求出函数g′（x）的表达式，根据二次函数的性质结合基本不等式即可求μ=

g(1)

g′(0)

的最小值；

（Ⅱ）若a=1，根据条件确定函数f（x）的单调性和极值，利用导数与函数关系，即可求b的取值范围；

（Ⅲ）若a=1，b=-2e，将方程lnx=x•g（x）转化为[lnx/x]=x2-2ex+c，利用导数研究方程根的问题．

（Ⅰ）∵f（x）=[1/3]ax3+[1/2]bx2+cx+d，

∴f′（x）=ax2+bx+c，

则g（x）=f′（x）=ax2+bx+c，

g′（x）=2ax+b，

∵①g′（0）＞0；∴b＞0，

∵②对于任意实数x，都有g（x）≥0．则a＞0且判别式△=b2-4ac≤0，

从而c＞0，ac≥

b2

4，

则μ=

g(1)

g′(0)=[a+b+c/b]=[a+c/b]+1≥

2

ac

b+1≥2，

故=

g(1)

g′(0)的最小值为2；

（Ⅱ）若a=1，f′（x）=x2+bx+c，对于任意实数x∈（-∞，0）有f′（x）＞0；

对于任意实数x∈（0，4）有f′（x）＜0．

则x=0是函数f（x）的极值点，即f′（0）=c=0，

则f′（x）=x2+bx=x（x+b），

若-b＜0，即b＞0，函数f（x）在x∈（-b，0）为减函数，与x∈（0，4）有f′（x）＜0矛盾．

若-b＞0，即b＜0，则f（x）在（-∞，0）单调递增，在（0，-b）内单调递增，在（-b，+∞）内单调递增，

即-b≥4，即b≤-4，

则b的取值范围是b≤-4；

（Ⅲ）若a=1，b=-2e，则g（x）=f′（x）=x2-2ex+c，

关于x的方程lnx=x•g（x）等价为[lnx/x]=x2-2ex+c，（x＞0），

设h（x）=[lnx/x]，则h′（x）=[1−lnx

x2，

则当0＜x＜e时，h′（x）=

1−lnx

x2＞0，函数单调递增，

当x＞e时，h′（x）=

1−lnx

x2＜0，函数单调递减，

从而函数的最大值为h（e）=

1/e]，

g（x）的最小值为g（e）=c-e2，

①若c-e2＞[1/e]，即c＞e2+[1/e]，此时函数g（x）和h（x）图象无交点，即方程lnx=x•g（x）的根的个数为0个．

②若c-e2=[1/e]，即c=e2+[1/e]，此时函数g（x）和h（x）图象有唯一的交点，方程lnx=x•g（x）的根的个数为1个．③若c-e2＜

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性，极值，最值和导数之间的应用，以及二次函数的性质，综合考查了导数的应用，运算量较大，综合性较强．

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