已知f(x)=[1/3]ax3+[1/2]bx2+cx+d(a,b,c,d为常数且a≠0),g(x)=f′(x)(f′(x)为f(x)的导数).
(Ⅰ)若g(x)满足:①g′(0)>0;②对于任意实数x,都有g(x)≥0.求μ=
g(1)
g′(0)
的最小值;
(Ⅱ)若a=1且对于任意实数x∈(-∞,0)有f′(x)>0;对于任意实数x∈(0,4)有f′(x)<0.求b的取值范围;
(Ⅲ)若a=1,b=-2e,讨论关于x的方程lnx=x•g(x)的根的个数.
解题思路:(Ⅰ)求出函数g′(x)的表达式,根据二次函数的性质结合基本不等式即可求μ=
g(1)
g′(0)
的最小值;
(Ⅱ)若a=1,根据条件确定函数f(x)的单调性和极值,利用导数与函数关系,即可求b的取值范围;
(Ⅲ)若a=1,b=-2e,将方程lnx=x•g(x)转化为[lnx/x]=x2-2ex+c,利用导数研究方程根的问题.
(Ⅰ)∵f(x)=[1/3]ax3+[1/2]bx2+cx+d,
∴f′(x)=ax2+bx+c,
则g(x)=f′(x)=ax2+bx+c,
g′(x)=2ax+b,
∵①g′(0)>0;∴b>0,
∵②对于任意实数x,都有g(x)≥0.则a>0且判别式△=b2-4ac≤0,
从而c>0,ac≥
b2
4,
则μ=
g(1)
g′(0)=[a+b+c/b]=[a+c/b]+1≥
2
ac
b+1≥2,
故=
g(1)
g′(0)的最小值为2;
(Ⅱ)若a=1,f′(x)=x2+bx+c,对于任意实数x∈(-∞,0)有f′(x)>0;
对于任意实数x∈(0,4)有f′(x)<0.
则x=0是函数f(x)的极值点,即f′(0)=c=0,
则f′(x)=x2+bx=x(x+b),
若-b<0,即b>0,函数f(x)在x∈(-b,0)为减函数,与x∈(0,4)有f′(x)<0矛盾.
若-b>0,即b<0,则f(x)在(-∞,0)单调递增,在(0,-b)内单调递增,在(-b,+∞)内单调递增,
即-b≥4,即b≤-4,
则b的取值范围是b≤-4;
(Ⅲ)若a=1,b=-2e,则g(x)=f′(x)=x2-2ex+c,
关于x的方程lnx=x•g(x)等价为[lnx/x]=x2-2ex+c,(x>0),
设h(x)=[lnx/x],则h′(x)=[1−lnx
x2,
则当0<x<e时,h′(x)=
1−lnx
x2>0,函数单调递增,
当x>e时,h′(x)=
1−lnx
x2<0,函数单调递减,
从而函数的最大值为h(e)=
1/e],
g(x)的最小值为g(e)=c-e2,
①若c-e2>[1/e],即c>e2+[1/e],此时函数g(x)和h(x)图象无交点,即方程lnx=x•g(x)的根的个数为0个.
②若c-e2=[1/e],即c=e2+[1/e],此时函数g(x)和h(x)图象有唯一的交点,方程lnx=x•g(x)的根的个数为1个.③若c-e2<
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题主要考查函数的单调性,极值,最值和导数之间的应用,以及二次函数的性质,综合考查了导数的应用,运算量较大,综合性较强.
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