设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且atanB=[20/3]，bsinA=4．
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解题思路：（Ⅰ）首先由正弦定理求出asinB的值，然后利用弦切互化关系结合已知条件即可求出cosB，再由cosB求得sinB、tanB，则求得a；

（Ⅱ）先由三角形面积公式求出c，则可得A=C，再利用余弦定理把cos4C用A+C的三角函数表示，进而用B的三角函数表示，则问题解决．

（Ⅰ）因为[a/sinA＝

b

sinB]，所以asinB=bsinA=4，

又atanB=[20/3]，即[asinB/cosB＝

20

3]，

所以cosB=[3/5]；

则sinB=[4/5]，tanB=[4/3]，

所以a=[20/3×

3

4]=5．

（Ⅱ）由S=[1/2]acsinB=[1/2]×4c=10，得c=5．

又a=5，所以A=C．

所以cos4C=2cos22C-1

=2cos2（A+C）-1

=2cos2B-1

=2×(

3

5)2-1

=-[7/25]．

点评：

本题考点： 同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．

考点点评： 本题主要考查正弦定理、弦切互化关系及余弦的倍角公式．

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