已知F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左、右焦点,双曲线恰好通过正三角形F1 F2 A 两边F1A,
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正三角形底边为F1F2,因F1和F2关于Y轴对称的两点,故正三角形顶点在Y轴,

设AF1中点是P点,AF2中点是Q点,连结F2P、F1Q,

则|F1Q|=|PF2|,设|F1Q|=m,|QF2|=n,

根据双曲线定义,m-n=2a,

两边平方,m^2-2mn+n^2=4a^2,(1)

∵△AF1F2是正△,

∵P、Q分别是F1A和F2A的中点,

∴F1Q⊥AF2,F2P⊥F1A,

∴△PF1F2和△QF1F2均是RT△,

∴根据勾股定理,

m^2+n^2=4c^2,(2)

(2)-(1)式,

2mn=4(c^2-a^2)4b^2

mn=2b^2,

∵AO是正△AF1F2底边F1F2边上高,

∴OA=√3c,

作QH⊥X轴,H是垂足,

在RT△QF1F2中,根据等面积原理,

|F1Q|*|QF2|=|F1F2|*|HQ|,

|HQ|=mn/(2c)=2b^2/(2c)=b^2/c,

∵HQ又是△AOF2的中位线,

∴|HQ|=|OA|/2,

b^2/c=√3c/2.

2b^2=√3c^2,

2c^2-2a^2= √3c^2,

(c/a)^2=4+2√3,

c/a=√（√3+1）^2=√3+1,

∴离心率e=c/a=√3+1.

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