如果b是a和c的等差中项，y是x和z的等比中项，且x，y，z都是正数．则（b-c）logmx+（c-a） logmy+（
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解题思路：设等差数列公差为d，由对数运算法则推导出（b-c）logmx+（c-a）logmy+（a-b）logmz=dlogm（
y
2
xz
），由y是x与z的等比中项，知
y
2
xz
=1，由此求出（b-c）logmx+（c-a） logmy+（a-b） logmz=0．
设等差数列公差为d，
∵m＞0且m≠1，
∴（b-c）logmx+（c-a）logmy+（a-b）logmz
=-dlogmx+2dlogmy-dlogmz
=d（2logmy-logmx-logmz）
=dlogm（
y2
xz），
∵y是x与z的等比中项，∴y2=xz，
∴
y2
xz=1，
∴dlogm（
y2
xz）=0，
∴（b-c）logmx+（c-a） logmy+（a-b） logmz=0．
故答案为：0．
点评：
本题考点： 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．
考点点评： 本题考查对数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差中项和等比中项的性质的灵活运用．
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