已知正项数列(an)的首项a1=m,其中0
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由题意,得a(n+1)≤f(an)=an/(2an+1) ∴1/a(n+1)≥(2an+1)/an=2+1/an ∴1/a(n+1)-1/an≥2 ∴1/a2-1/a1≥2,1/a3-1/a2≥2,1/a4-1/a3≥2,……,1/an-1/a(n-1)≥2 全部相加,得1/an-1/a1≥2(n-1),则1/an≥2(n-1)+1/a2=2n-2+1/m=(2mn-2m+1)/m ∴an≤m/(2mn-2m+1) ∴bn=an/(2n+1)≤m/[(2mn-2m+1)(2n+1)]=1/[(2n-2+1/m)(2n+1)] 又∵0＜m＜1,则1/m＞1 ∴2n-2+1/m＞2n-2+1=2n-1 ∴bn＜1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2×[1/(2n-1)-1/(2n+1)] ∴b1+b2+b3+……+bn =1/2×[(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+……+1/(2n-1)-1/(2n+1)] =1/2×[1-1/(2n+1)] ＜1/2×1 =1/2 ∴b1+b2+b3+……+bn＜1/2
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