已知函数f（x）=xlnx+1．

已知函数f（x）=xlnx+1．

（1）求函数f（x）在x∈[e-2，e2]上的最大值与最小值；

（2）若x＞1时，函数y=f（x）的图象恒在直线y=kx上方，求实数k的取值范围；

（3）证明：当n∈N*时，ln（n+1）＞[1/2]+[1/3]+[1/4]+…+[1/n+1]．

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解题思路：（1）由已知得f'（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）在x∈[e-2，e2]上的最大值与最小值．

（2）当x∈（1，+∞）时，y=f（x）的图象恒在直线y=kx的上方，等价于x∈（1，+∞）时，不等式xlnx+1＞kx恒成立．

（3）由（2）知，当x∈（1，+∞）时，xlnx+1＞x

⇔lnx＞1−

1

x

，令

x＝

n+1

n

，得

ln(n+1)−lnn＞

1

n+1

，由此能证明

ln(n+1)＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

（1）∵f（x）=xlnx+1，

∴定义域为（0，+∞），且f'（x）=lnx+1，…（1分）

当x∈[e-2，e-1]时，f'（x）＜0，当x∈[e-1，e2]时，f'（x）＞0，

∴f（x）在x∈[e-2，e-1]为为减函数，在x∈[e-1，e2]上为增函数，…（3分）

∴f（x）min=f（e-1）=1-e-1，…（4分）

f(x)max＝max{f(e−2)，f(e2)}＝f(e2)＝1+2e2．…（5分）

（2）当x∈（1，+∞）时，y=f（x）的图象恒在直线y=kx的上方，

等价于x∈（1，+∞）时，不等式xlnx+1＞kx恒成立，

即k＜[xlnx+1/x]=lnx+[1/x]恒成立，

令g（x）=lnx+[1/x]，x∈（1，+∞），则g′(x)＝

1

x−

1

x2＝

x−1

x2，

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，

故g（x）在（1，+∞）上递增，∴x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=1，

∴满足条件的实数k的取值范围是（-∞，1]．

（3）证明：由（2）知当x∈（1，+∞）时，

xlnx+1＞x⇔lnx＞1−

1

x，…（11分）

令x＝

n+1

n，则ln

n+1

n＞1−

n

n+1，

化简得ln(n+1)−lnn＞

1

n+1，…（13分）

∴ln2-ln1＞[1/2]，ln3-ln2＞[1/3]，…，ln(n+1)−lnn＞

1

n+1，

∴ln（n+1）=[ln（n+1）-lnn）+（lnn-ln（n-1））+…+（ln2-ln1）+ln1

=[1/n+1+

1

n+…+

1

2]，

即ln(n+1)＞

1

2+

1

3+

1

4+…+

1

n+1．…（14分）

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数的最大值和最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

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