已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=12，它的一个顶点恰好是抛物线x2=-12y的焦点．
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解题思路：（Ⅰ）求出抛物线的焦点，结合离心率e=[1/2]，及a，b，c的平方关系可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），AB交x轴于点D，由对称性知S△OAB=2S△OAD，根据点A在直线OA、椭圆上可用k表示出x0，从而可把△OAB面积表示为关于k的函数，利用基本不等式即可求得其最大值．
（Ⅰ）抛物线x2=-12y的焦点为（0，-3），∴b=3…（1分）
又椭圆离心率e=[c/a]=[1/2]，∴a2=9+
1
4a2，∴a2=12…（2分）
所以椭圆C的方程为
x2
12+
y2
9=1…（4分）
（Ⅱ）设点A（x0，y0），（x0>0，y0>0），则y0=kx0，
设AB交x轴于点D，由对称性知：
S△OAB=2S△OAD=2×[1/2]x0y0=kx02，
由y0=kx0，代入椭圆方程，可得x02=[36
3+4k2，
所以S△OAB=k•
36
3+4k2=
36
3/k+4k]≤
36
2
3
k•4k=3
3，
当且仅当[3/k=4k，即k=
3
2]时取等号，
所以△OAB面积的最大值为3
3．
点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．
考点点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查函数思想，解决（Ⅱ）问的关键是把三角形OAB面积表示为函数，正确运用基本不等式是解决基础．
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