已知函数f（x）=[1/2]x2-alnx
1个回答
解题思路：（1）由题意可得f′（1）=2，解出即可；
（2）分a≤0，a＞0两种情况讨论，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（3）取a=1，由（2）可得f（x）
≥f(1)＝
1
2
，由此可得结论；
（1）f′（x）=x-[a/x]，
由题意知y=f（x）在x=1处的切线斜率为2，即f′（1）=2，
∴1-a=2，解得a=-1；
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-[a/x]=
x2−a
x，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，由f′（x）＜0，得0＜x＜
a；由f′（x）＞0，得x＞
a．
∴当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的递减区间是（0，
a]，递增区间是[
a，+∞）．
（3）取a=1，由（2）知，f（x）=[1/2]x2-lnx在[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f(1)＝
1
2，
∴[1/2]x2-lnx≥
1
2，[1/2]x2≥lnx+[1/2]，
∴对任意的n∈N*，[1/2]n2≥lnn+[1/2]＞lnn．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值，考查学生分析解决问题的能力，注意：求单调区间要在定义域内进行．
相关问题
