已知函数f(x)=-x3+x2+x+a,g(x)=2a-x3(x∈R,a∈R).
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解题思路:(1)利用导数来求出函数的单调区间.

(2)利用导数来求出函数的极值,利用(1)的结论.

(3)不等式g(x)≥f(x)恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立,h(x)=x2+x,x∈[0,1],利用导数,求出h(x)的最大值,问题得以解决.

(1)f(x)=-x3+x2+x+a,

f'(x)=-3x2+2x+1,

令f′(x)=−3x2+2x+1=0,得x1=−

1

3,x2=1.

令f′(x)>0,得−

1

3<x<1.

令f′(x)<0,得x<−

1

3,或x>1.

∴函数f(x)的单调递增区间为(−

1

3,1),

单调递减区间为(−∞,−

1

3)与(1,+∞).

(2)由(1)可知,

当x=−

1

3时,函数f(x)取得极小值,函数的极小值为f(−

1

3)=a−

5

27

当x=1时,函数f(x)取得极大值,函数的极大值为f(1)=a+1,

(3)若任意x∈[0,1],不等式g(x)≥f(x)恒成立,

即对于任意x∈[0,1],不等式a≥x2+x恒成立,

设h(x)=x2+x,x∈[0,1],

则h'(x)=2x+1,

∵x∈[0,1],

∴h'(x)=2x+1>0恒成立,

∴h(x)=x2+x在区间[0,1]上单调递增,

∴[h(x)]max=h(1)=2

∴a≥2,

∴a的取值范围是[2,+∞)

点评:

本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.

考点点评: 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点,属于中档题.