在4面体ABCD中,若AB垂直于CD,AD垂直于BC 求证：AC垂直于BD
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过C作AB平行线,且取E使得EC=AB (E与A在平面CBD的同侧）
过D作AB平行线,且取F使得FD=AB (F与A在平面CBD的同侧）
可证ABCE和ABDF是两个平行四边形,
而EFCD特别的是矩形（EC平行AB AB垂直CD,所以EC垂直CD）
所以ED＝CF
由AE//BC 和 BC⊥AD=> AE⊥AD =>EAD是直角三角形
所以AE^2+AD^2=ED^2=FC^2
要证明BD⊥AC只要证AF⊥AC,则只要证明AC^2+AF^2=FC^2=AE^2+AD^2
为方便书写,下面用α表示角ABC β表示ABD
l=FD=AB=EC
m=AF=BD
n=AE=BC
则由余弦定理
AC^2+AF^2=n^2+l^2-2nlcosβ+m^2 .(1)
AE^2+AD^2=n^2+l^2+m^2-2mlcosα .(2)
要证明(1)=(2)
则只要证明ncosβ=mcosα.(3)
在ABD平面上过D作AB垂线DP交AB于P,由于DC也⊥AB 故DCP面⊥AB 所以CP⊥AB
则
BP=ncosβ BP=mcosα
或者当P落在AB延长线上时,BP=-ncosβ BP=-mcosα
所以(3)成立
所以原命题成立.
思路有点"要证这个只要证这个"式的倒推,反过来理一下就好看一些,不过不易理解.
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