如图,二次函数y=[1/2]x2+bx-[3/2]的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标:______;
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.
解题思路:(1)将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式,然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长,从而求得点D的纵坐标;
(2)PA=t,OE=l,利用△DAP∽△POE得到比例式,从而得到有关两个变量的二次函数,求最值即可;
(3)分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积.
(1)(-3,4);
(2)设PA=t,OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴[4/3−t=
t
l]
∴l=-[1/4 t2+
3
4t=-
1
4](t-[3/2])2+[9/16]
∴当t=[3/2]时,l有最大值[9/16]
即P为AO中点时,OE的最大值为[9/16];
(3)存在.
①点P点在y轴左侧时,DE交AB于点G,
P点的坐标为(-4,0),
∴PA=OP-AO=4-3=1,
由△PAD≌△EOP得OE=PA=1
∵△ADG∽△OEG
∴AG:GO=AD:OE=4:1
∴AG=[4/5AO=
12
5]
∴重叠部分的面积=[1/2×4×
12
5]=[24/5]
②当P点在y轴右侧时,P点的坐标为(4,0),
此时重叠部分的面积为[712/77]
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 本题考查了二次函数的综合知识,与二次函数的最值结合起来,题目的难度较大.
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