如图，二次函数y=[1/2]x2+bx-[3/2]的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形A

如图，二次函数y=[1/2]x2+bx-[3/2]的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：______；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

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1个回答

解题思路：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；

（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；

（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．

（1）（-3，4）；

（2）设PA=t，OE=l

由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE

∴[4/3−t＝

t

l]

∴l=-[1/4 t2+

3

4t=-

1

4]（t-[3/2]）2+[9/16]

∴当t=[3/2]时，l有最大值[9/16]

即P为AO中点时，OE的最大值为[9/16]；

（3）存在．

①点P点在y轴左侧时，DE交AB于点G，

P点的坐标为（-4，0），

∴PA=OP-AO=4-3=1，

由△PAD≌△EOP得OE=PA=1

∵△ADG∽△OEG

∴AG：GO=AD：OE=4：1

∴AG=[4/5AO=

12

5]

∴重叠部分的面积=[1/2×4×

12

5]=[24/5]

②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），

此时重叠部分的面积为[712/77]

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．

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