（2006•咸宁）如图①，在△ABC中，AB=AC，O为AB的中点．以O为圆心，OB为半径的圆交BC于点D，过D作DE⊥
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解题思路：（1）连接OD，通过证明OD∥AC，利用平行的性质，得出OD⊥DE，即可判定DE与⊙O相切；
（2）连接OD，OF．设AF=x，利用方程的思想和勾股定理，解出x=4，即AF的长度为4．
（1）DE与⊙O相切．理由如下：
连接OD．
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB．
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
（2）解法（1）：连接OD，OF．
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE．
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形．
∴OD=EF．
设AF=x，则
AB=AC=x+3+1=x+4，AG=AB-BG=x+4-6=x-2．
∵AF与⊙O相切，
∴AF2=AG•AB．
即x2=（x-2）（x+4），
解得x=4．∴AF的长度为4．
解法（2）：连接OD，OF．
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE．
又∵DE⊥AC，所以四边形ODEF为矩形，
∴OD=EF．
设AF=x，则AB=AC=x+3+1=x+4，
AO=AB-OB=x+4-3=x+1，
∵OF⊥AC，∴AO2=OF2+AF2
即（x+1）2=9+x2，
解得x=4．
故AF的长度为4．
点评：
本题考点： 切线的判定与性质．
考点点评： 主要考查了圆的切线的判定方法、和构造直角三角形利用勾股定理作为相等关系解方程的思想．
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