24 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明(Ⅰ)ab+bc+ca≥1/3(Ⅱ)a∧2/b+b∧2/c+c∧2/a
1个回答
（1）首先a^2+b^2≥2ab,b^2+c^2≥2bc,c^2+a^2≥2ca
所以a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
同时(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca)
所以ab+bc+ca≤1/3
当a=b=c=1/3时,等式成立
（2）法1：由柯西不等式得
(a^2/b+b^2/c+c^2/a)(a+b+c)≥(a+b+c)^2
即a^2/b+b^2/c+c^2/a≥1
法2：由排序不等式可知,对于两组数列a^2,b^2,c^2和1/c,1/b,1/a
a^2*(1/a)+b^2*(1/b)+c^2*(1/c)是反序和
a^2*(1/b)+b^2*(1/c)+c^2*(1/a)是乱序和
乱序和≥反序和
法3：因为a^2+b^2≥2ab
所以a^2/b≥2a-b
同理b^2/c≥2b-c
c^2/a≥2c-a
三式相加,得a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c=1
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