大学几代,向量法证明用向量法证明：三角形p1p2p3的三条角平分线交于一点p,并且对任意一点o有 向量op=(k1*向量
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将各个点的坐标用点的名称表示.例如p表示p点的坐标,依次例推.
待证:(p-o)=(k1(p1-o)+k2(p2-o)+k3(p3-o))/(k1+k2+k3)
p=(k1p1+k2p2+k3p3)/(k1+k2+k3)
显然这是一个2维平面问题.
建立合适的坐标系,p1=(0,0),p2=(x2,0),p3=(x3,y3)
p-p1=t1((p2-p1)/k3+(p3-p1)/k2),(1)
p-p2=t2((p1-p2)/k3+(p3-p2)/k1),(2)
t1,t2为待定的常数
则,p2-p1=t1((p2-p1)/k3+(p3-p1)/k2)-t2((p1-p2)/k3+(p3-p2)/k1)
由上式可以推导出t1.
代入(1)式,即可计算出p,结果为:
p=((k2x2+k3x3)/(k1+k2+k3),k3y3/(k1+k2+k3))
p=(k1p1+k2p2+k3p3)/(k1+k2+k3),(3)
由于p与p1,p2,p3之间为线性关系,且加权系数之和为1.
因此,旋转和平移都不影响(3)式的正确性
因此对于任意高维坐标空间都是成立的.
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