已知α1=(1,-2,1)T,α2=(-1,a,1)T依次是三阶不可逆实对称矩阵 A的属于的特征值λ1=1,λ2=-1的
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解题思路:(Ⅰ)首先,根据A不可逆,得到A的特征值必有一个为0;其次,由实对称矩阵不同特征值的特征向量是正交的,建立方程组,求得特征向量即可;最后,再根据对角化矩阵,求得矩阵A.(Ⅱ) 利用(Ⅰ)求出的对角化矩阵,求出A2009,就可以求出A2009β.

(Ⅰ)∵A不可逆

∴A的特征值必有一个为0

设属于0的特征向量为α3=(b,c,d)T

则α1、α2、α3是正交的

−2a=0

b−2c+d=0

−b+ac+d=0

解得:a=0和满足条件的一个α3=(1,1,1)T

∴存在可逆矩阵P=

1−11

−201

111,使得P−1AP=∧=

1

−1

0

∴A=P∧P-1

又容易求出P−1=−

1

6

−12−1

30−3

−2−2−2

∴A=−

1

3

11−2

1−21

−211

(Ⅱ) 由(I),得

A2009β=P∧2009P-1β=P∧P-1β=Aβ=

0

0

0

点评:

本题考点: 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.

考点点评: 此题考查实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,以及实对称矩阵的对角化和正交化,是基础知识点.