讨论f(x)=(1+1/x)^x,(x>0)的单调性
f'(x)=(1+1/x)^x*[ln(1+1/x)-(1/x)*1/(1+1/x)]
设1/x=t
=>
ln(1+1/x)-(1/x)*1/(1+1/x)
=ln(1+t)-t/(1+t)
=g(t)
=>
g'(t)
=t/(1+t)^2
>0
且g(0)=0
=>
g(t)在(0,正无穷)>0
注意到
(1+1/x)^x>0
=>
f'(x)>0
=>
f(x)=(1+1/x)^x单调递增
=>
f(x)=(1+x)^(1/x)单调递减
=>
(1+m)^(1/m)>(1+n)^(1/n)>1
=>
[(1+m)^(1/m)]^(mn)>[(1+n)^(1/n)]^(mn)
=>
(1+m)^n>(1+n)^m
证明完毕
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