如图,直线y=-
1
2
x+4交x轴A,交y轴于B,M为OA上一点,⊙M经过B、A两点,交x轴负半轴于一点C,交y轴的负半轴于一点D．
（1）求M的坐标．
（2）BM的延长线交⊙M于E,直线BA绕B点顺时针旋转经过△OBM的内心I时交AE的延长线于K,求线段AK的长．
（3）分别过A、B两点作⊙M的切线相交于点P,过AB两点的动圆⊙N交PB的延长线于G,交y轴的负半轴于H．有两个结论：①BH+BG的值不变,②BH-BG的值不变．其中只有一个是正确的．请作出判断,并求其值．
考点：圆的综合题．
分析：（1）首先求得A、B的坐标,则M是线段AB的中垂线与x轴的交点,求得AB的垂直平分线的解析式,然后求得与x轴的交点即可；
（2）根据内心的定义以及等腰三角形的性质,和等角对等边可以证得：△BAK是等腰直角三角形,根据勾股定理求得AB,即可求得AK的长；
（3）过A作AF⊥PG于F,连接AG,AH,可以证得：△AOB≌△AFB,且Rt△FGA≌Rt△AOH,则BH-BG=（BO+OH）-BG=BO+FG-BG=BO+FB,从而证得结论．
（1）直线y=-与x轴．y轴交点分别是A（8,0）,B（0,4）．
∵⊙M过A、B两点,
∴M必在AB的垂直平分线上．
∴M所在直线的斜率就是2,且过点（4,2）（该点就是AB的中点坐标）
∴M所在直线的方程就是y=2x-6
∵M在OA上,即M在x轴上
∴M（3,0）
（2）I是△OBM内心∴∠OBK=∠KBE
∵AB是⊙M的弦
∴MA=MB
∴∠MAB=∠MBA
∵∠OBK+∠KBE+∠MAB+∠MBA=90°
∴∠KBE+∠MBA=45°
∵BE是⊙M的直径
∴∠BAK=90°
∴∠K=45°
∴△BAK是等腰Rt△
∴AK=AB
AB=
82+42
=4
5
,
∴AK=4
5
；
（3）过A作AF⊥PG于F,连接AG,AH
A（8,0）,B（0,4）．
设P（8,y）
∵AP∥OB,AP=BP
∴∠PBA=∠ABO．
∴OA=OF,
在Rt△AOB和Rt△AFB中
AB＝AB
AP＝AF
,
∴△AOB≌△AFB（HL）,
∴BO=BF
又在Rt△FGA和Rt△AOH中
∠FGA＝∠OHA
AF＝AO
∴Rt△FGA≌Rt△AOH
∴FG=HO
∴BH-BG=（BO+OH）-BG=BO+FG-BG=BO+FB=8．
