这个题目计算量比较麻烦,为此要尽量找到计算相对简单的方法.
根据对称性,可以知道 ABPQ是平行四边形.
PQ 和 AB是对角线.二者交点是坐标原点.
三角形 OPA OPB OBQ OQA 的面积彼此相等.这个结论可以通过三角形面积的正弦定理,即 三角形面积 = 两边之积*两边夹角的正弦/2 证明.
因此 OPA 的面积是四边形面积的 1/4.即 24/4 = 6
设 OP 与x轴正向夹角为 M,OA与x轴正向夹角为N.
则 OPA 的面积= (1/2)*OP*OA*sin|M-N|
设P点坐标为 (p,8/p)
tan M = 8/p^2
而tan N = 2/4 = 1/2
sin|M-N| = |sin(M-N)|
= |sinM*cosN - cosM*sinN|
=cosM *|tanM * cosN - sinN|
=p/OP *|8/p^2 * 4/OA- 2/OA|
OPA面积 = 6
= (1/2)*OP*OA*sin|M-N|
= (1/2)*OP*OA*p/OP * |8/p^2 * 4/OA - 2/OA|
(消去OP OA)
= (p/2)*|32/p^2 - 2|
= |16/p - p|
6=|16/p - p|
当 16/p>p时
6 = 16/p - p
p^2 +6p -16 = 0
(p+8)(p-2)=0
p=-8
p=2
其中 p = -8 不在第一象限,舍去
p=2 满足 16/p>p
当 16/p ≤ p 时
6 = p - 16/p
p^2 -6p -16 = 0
(p-8)(p+2)=0
p=8
检验 p = 8 满足 16/p < p
综上所述 P点横坐标为 x=2 或 8
对应纵坐标为 y=8/2 = 4 或 1
修改补充：
如果不用三角函数的话,那么
由平行四边形面积为24,推出三角形 PBA面积是 24/2 = 12
从 P 点向AB做垂线.交点为R.
利用 AB 长度已知、斜率已知 ,求出 PR 斜率.
设 P点坐标是 (s,8/s),写出 PR 直线方程.再写出AB直线方程 y=x/2.解方程组,求两直线交点即R点坐标.然后求PR长度.
利用 (1/2)PR*AB = 12 求 P点坐标.
思路虽然简明,但计算起来出奇麻烦.就象楼上那样,简直让人没有信心计算下去.
