已知函数f（x）=x 4 -2ax 2 ．
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（I）要证x 4-2ax 2=1的实根，
设t=x 2，也就是证明方程t 2-2at=1有非负实数根．
而△=4a 2+4＞0，故可设t 2-2at-1=0的两根为t 1，t 2．
t 1t 2=-1，∴t 1，t 2一正一负，
∴方程有正根
∴方程f（x）=1有实根；
（II）由题设知对任意的x∈[0，1]时，
h′（x）=f′（x）-1=4x 3-4ax-1≤0恒成立，
x=0时显然成立；
对任意的0＜x≤1，a≥x 2-
1
4x ，∴a≥（x 2-
1
4x ）max
而g（x）=x 2-
1
4x 在（0，1]上单调增，
∴a≥f（1）=
3
4 ，
∴a的取值范围为[
3
4 ，+∞）．
（III）由题设知，当x∈[0，1]时，|4x 3-4ax|≤1恒成立
记F（x）=4x 3-4ax
若a≤0则F（1）=4-4a≥4，不满足条件；
若a＞0则F′（x）=12x 2-4a=12（x-
a
3 ）（x+
a
3 ）
①当
a
3 ＜1即0＜a＜3时，F（x）在[0，
a
3 ]上递减，在[
a
3 ，1]上递增，
于是，|F（x）|max=max{-F（
a
3 ），F（1）}=max{
8a
3
a
3 ，4-4a}≤1
解之得：a=
3
4
②当
a
3 ≥1即a≥3时，F（x）在[0，1]上递减，于是|F（x）|max=-F（1）=4-4a≥8，与题意矛盾．
综上所述：a=
3
4 ．
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