已知数列{a n }的前n项和S n ，且 a n = 1 2 (3n+ S n ) 对一切正整数n恒成立．
1个回答
（1）∵且 a n =
1
2 (3n+ S n ) 对一切正整数n恒成立，
即2a n=3n+S n…①对一切正整数n恒成立．
∴2a n+1=3（n+1）+s n+1…②
②-①得：2a n+1-2a n=3+s n+1-s n，
∴3a n+1-2a n=3
∴a n+1+3=2（a n+3）
又a 1+3=6＞0，所以a 2+3=2（a 1+3）＞0，由此类推an+3＞0
所以
a n+1 +3
a n +3 =2
所以数列{a n+3}是以a 1+3=6为首项，以2为公比的等比数列．
（2）假设数列{a n}中存在这样的三项满足其条件，且这三项分别为数列{a n}的第x，y，z项．
由（1）知数列{a n+3}是以a 1+3=6为首项，以2为公比的等比数列．
∴a n+3=6×2 n-1，
∴a n=3×2 n-3
又第x，y，z项构成等差数列，
∴2（3×2 y-3）=3×2 x-3+3×2 z-3
∴2 y+1=2 x+2 z
∴2 y+1-x=1+2 z-x
又x、y、z都是整数，
等式左边是偶数，右边是奇数，
∴这样的x、y、z是不存在的．
即数列{an}中不存在有三项，使它们可以构成等差数列．
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