已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a 1 = 1 3 ，S n =n（2n-1）a n （n∈N*
1个回答
（1）∵S n=n（2n-1）a n，且a 1=
1
3
∴当n=2时，S 2=a 1+a 2=2（4-1）a 2，解得：a 2=
1
15 ；
当n=3时，S 3=a 1+a 2+a 3=3（6-1）a 3，解得：a 3=
1
35
（2）由 （1）可以猜想{a n}的通项为a n=
1
(2n-1)(2n+1)
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由条件知等式成立；
②假设当n=k（k≥1且k∈N *）等式成立，
即：a k=
1
(2k-1)(2k+1)
那么当n=k+1时，由条件S n=n（2n-1）a n有：
S k=k（2k-1）a k=k（2k-1）；
1
(2k-1)(2k+1) =
k
2k+1 ，
∴S k+1-S k=a k+1=（k+1）（2k+1）-
k
2k+1 ，即
k（2k+3）a k+1=
k
2k+1 ，∴a k+1=
1
(2k+1)(2k+3) ，
即：当n=k+1时等式也成立．
由①②可知，命题对一切n∈N *都成立．
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