已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a 1 = 1 3 ，S n =n（2n-1）a n （n∈N*

已知数列{a n}的前n项和为S n，且a 1=

1

3

，S n=n（2n-1）a n（n∈N*）．

（1）求a 2，a 3的值；

（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

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（1）∵S n=n（2n-1）a n，且a 1=

1

3

∴当n=2时，S 2=a 1+a 2=2（4-1）a 2，解得：a 2=

1

15 ；

当n=3时，S 3=a 1+a 2+a 3=3（6-1）a 3，解得：a 3=

1

35

（2）由 （1）可以猜想{a n}的通项为a n=

1

(2n-1)(2n+1)

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，由条件知等式成立；

②假设当n=k（k≥1且k∈N *）等式成立，

即：a k=

1

(2k-1)(2k+1)

那么当n=k+1时，由条件S n=n（2n-1）a n有：

S k=k（2k-1）a k=k（2k-1）；

1

(2k-1)(2k+1) =

k

2k+1 ，

∴S k+1-S k=a k+1=（k+1）（2k+1）-

k

2k+1 ，即

k（2k+3）a k+1=

k

2k+1 ，∴a k+1=

1

(2k+1)(2k+3) ，

即：当n=k+1时等式也成立．

由①②可知，命题对一切n∈N *都成立．

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