已知数列{a n }的前n项和为S n ,且a 1 = 1 3 ,S n =n(2n-1)a n (n∈N*
1个回答

(1)∵S n=n(2n-1)a n,且a 1=

1

3

∴当n=2时,S 2=a 1+a 2=2(4-1)a 2,解得:a 2=

1

15 ;

当n=3时,S 3=a 1+a 2+a 3=3(6-1)a 3,解得:a 3=

1

35

(2)由 (1)可以猜想{a n}的通项为a n=

1

(2n-1)(2n+1)

用数学归纳法证明如下:

①当n=1时,由条件知等式成立;

②假设当n=k(k≥1且k∈N *)等式成立,

即:a k=

1

(2k-1)(2k+1)

那么当n=k+1时,由条件S n=n(2n-1)a n有:

S k=k(2k-1)a k=k(2k-1);

1

(2k-1)(2k+1) =

k

2k+1 ,

∴S k+1-S k=a k+1=(k+1)(2k+1)-

k

2k+1 ,即

k(2k+3)a k+1=

k

2k+1 ,∴a k+1=

1

(2k+1)(2k+3) ,

即:当n=k+1时等式也成立.

由①②可知,命题对一切n∈N *都成立.