从椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点
1个回答
解题思路：（1）由已知可设M的坐标代入椭圆方程，根据M在第二象限求得M的坐标，又根据AB∥OM可知kAB=kOM．进而可得-
b
2
ac
=-[b/a]，求得b和c的关系，进而求得a和c的关系，椭圆的离心率可得．
（2）设|F1Q|=m，|F2Q|=n，代入余弦定理，根据均值不等式求得cos∠F1QF2的范围进而求得∠F1QF2的范围．
（3）根据CD∥AB，求得直线CD的斜率，进而可得直线CD的方程，与椭圆方程联立，消去y，设C（x1，y1）、D（x2，y2），根据韦达定理进而可表示出|CD|求得b，则a可得，最后求得椭圆的方程．
（1）由已知可设M（-c，y），
则有
(−c)2
a2+
y2
b2=1．
∵M在第二象限，∴M（-c，
b2
a）．
又由AB∥OM，可知kAB=kOM．
∴-
b2
ac=-[b/a]．∴b=c．∴a=
2b．
∴e=[c/a]=
2
2．
（2）设|F1Q|=m，|F2Q|=n，
则m+n=2a，mn＞0．|F1F2|=2c，a2=2c2，
∴cos∠F1QF2=
m2+n2−4c2
2mn=
(m+n)2−2mn−4c2
2mn=
4a2−4c2
2mn-1=
a2
mn-1≥
a2
(
m+n
2)2-1=
a2
a2-1=0．
当且仅当m=n=a时，等号成立．
故∠F1QF2∈[0，
点评：
本题考点： 椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题主要考查了椭圆的应用．涉及了直线与椭圆的关系，考查了学生对问题的综合把握．
相关问题
