如图，在四边形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3：1：4，点E在边AD上，CE交BD于G，设[B
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解题思路：（1）不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4．根据等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比，分别用k表示相关一些三角形的面积，从而得到关于k的方程，进行求解；
（2）根据（1）的结论，知E、G分别为AD、BD的中点，结合已知，得点H是△ABD的重心．延长BE到K，使得BE=EK，连接AK、DK，构造平行四边形，根据平行四边形的性质和重心的性质进行分析求解．
略（1）不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4．
∵
BG
GD＝
DE
EA＝k，
∴△ABD的面积是6，△BDE的面积是
6k
k+1]．
∴△CDG的面积是[1/k+1]，△CDE的面积为[4k/k+1]，△DEG的面积是
6k
(k+1)2．
由此可得：[1/k+1]+
6k
(k+1)2=[4k/k+1]，
即4k2-3k-1=0，
∴k=1．
∴
37k2+20
=3．
（2）由（1）知：E、G分别为AD、BD的中点，
又∵点H分线段BE成[BH/HE＝2的两段，
∴点H是△ABD的重心．
而当延长BE到K，使得BE=EK，连接AK、DK后便得到平行四边形ABDK，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：2（AB2+BD2）=AD2+4BE2，类似地有
2(BD2+AD2)＝AB2+4DM2
2(AB2+AD2)＝BD2+4AG2]，其中点M为边AB的中点．
∴3（AB2+BD2+AD2）=4（BE2+DM2+AG2）．
∵AH＝
2
3AG，BH＝
2
3BE，DH＝
2
3DM，AH2+BH2+DH2=p2，
∴BE2+DM2+AG2＝
点评：
本题考点： 勾股定理；三角形的面积；三角形的重心；平行四边形的性质．
考点点评： 此题综合运用了平行四边形的性质和三角形的重心的性质．
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