如图,点O为正方形ABCD内一点,AO=BO,且∠OAB=15°,求证△DCO是等边三角形
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在正方形ABCD内取一点E,使∠EBC＝∠ECB＝15°.
∵ABCD是正方形,∴AB＝BC、∠ABC＝90°.
∵AO＝BO,∴∠OBA＝∠OAB＝15°.
由∠OAB＝∠EBC＝15°、∠OBA＝∠ECB＝15°、AB＝BC,得：△OAB≌△EBC,
∴OB＝EC.
∵∠EBC＝∠ECB,∴EB＝EC,又OB＝EC,∴OB＝EB.
显然有：∠OBE＝∠ABC－∠OBA－∠OBC＝90°－15°－15°＝60°,又OB＝EB,
∴△BOE是等边三角形,∴∠OEB＝60°、EO＝EB.
∵∠EBC＝∠ECB＝15°,∴∠BEC＝180°－∠EBC－∠ECB＝180°－15°－15＝150°.
∴∠OEC＝360°－∠EBC－∠OEB＝360°－150°－60°＝150°.
由CE＝CE、∠OEC＝∠BEC＝150°、EO＝EB,得：△OEC≌△BEC,
∴OC＝BC、∠ECO＝∠ECB＝15°.
∵ABCD是正方形,∴DC＝BC、∠BCD＝90°.
由DC＝BC、OC＝BC,得：DC＝OC.
显然有：∠OCD＝∠BCD－∠ECO－∠ECB＝90°－15°－15°＝60°,而DC＝OC,
∴△DCO是等边三角形.
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