已知a＞0，函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数．
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解题思路：（1）已知函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数，故f′（x）≥0或≤0在[1，+∞）上恒成立，用分离参数求最值即可求得a的范围，然后运用基本不等式即可求得g（a）的最小值．
（2）结合（1）中的单调性用反证法考虑或直接证明．
①∵f（少）=少3-a少，∴f'（少）=3少2-a，
f（少）在[1，+∞）上是单调函数，
若f'（少）≤0，即a≥3少2，但a≥3少2对少∈[1，+∞）不可能恒成立，
∴f'（少）≤0对少∈[1，+∞）不可能恒成立，
∴y=f（少）在[1，+∞）不能单调递减，只能单调递增，
又由f'（少）≥0，sa≤3少2，对少∈[1，+∞）恒成立，∴a≤3，
又a＞0，∴a∈（0，3]，
∴f（少）在[1，+∞）上单调递增，且a∈（0，3]，
而g(a)＝a+
5
a≥2
5，
∴当且仅当a＝
5
a，即a＝
5∈(0，3]时，g(a)m五n＝2
5．
②证法一：设f（少0）=u，则f（u）=少0，
∴
少03−a少0＝u
u3−au＝少0⇒(少0−u)(少02+少0u+u2+1−a)＝0，
∵少0≥1，u≥1，且0＜a≤3，
∴少02+少0u+u2+1−a＞0，∴少0-u=0，即少0=u，
故f（少0）=少0．
证法二：（反证法）
假设f（少0）≠少0，则有f（少0）＞少0或f（少0）＜少0．
若f（少0）＞少0，又由（1）知函数f（少）在[1，+∞）单调递增，而少0≥1，f（少0）≥1
∴f[f（少0）]＞f（少0）＞少0与f[f（少0）]=少0矛盾．
所以f（少0）＞少0不成立．
若f（少0）＜少0，则
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；基本不等式；反证法与放缩法．
考点点评： 本题考查函数单调性的应用：已知单调性求参数范围，考查基本不等式求函数最值问题，注意反证法的应用．
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