如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=4，E为PD中点．
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（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，
四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，
以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=4，E为PD中点，
∴P（0，0，4），B（4，0，0），
A（0，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0），E（0，2，2），
∴
PB =(4，0，-4) ，
AC =（4，4，0），
AE =(0，2，2) ，
设平面AEC的法向量
n =(x，y，z) ，
则
n •
AC =0 ，
n •
AE =0 ，
∴
4x+4y=0
2y+2z=0 ，∴
n =（1，-1，1），
∵
PB •
n =4+0-4=0，且PB不包含于平面AEC，
∴PB ∥ 平面AEC．
（2）证明：在四棱锥P-ABCD中，
∵四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，
∴CD⊥AD，CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．
（3）∵平面ACD的法向量
m =（0，0，1），
由（1）知平面AEC的法向量
n =（1，-1，1），
∴cos＜
m ，
n ＞=
1
3 =
3
3 ，
sin＜
m ，
n ＞=
1-(
3
3 ) 2 =
6
3 ，
∴二面角E-AC-D的正弦值为
6
3 ．
1年前
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