已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
1个回答
解题思路：（I）由x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，求导，则f′（1）=0，求得m与n的关系表达式；
（II）根据（I），代入f（x）中，求导，令导数f′（x）＞0，求得单调增区间，令f′（x）＜0，求得单调减区间．
（I）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+n，
因为x=1是f（x）的一个极值点，
所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6．
（II）由（I）知，
f′(x)＝3mx2−6(m+1)x+3m+6＝3m(x−1)[x−(1+
2
m)]．
当m＜0时，有1＞1+
2
m，当x变化时，f（x）与f'（x）的变化如下表：
x (−∞，1+
2
m) 1+
2
m (1+
2
m，1) 1 （1，+∞）
f′（x） ＜0 0 ＞0 0 ＜0
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减由上表知，当m＜0时，f（x）在(−∞，1+
2
m)单调递减，
在(1+
2
m，1)单调递增，（1+∞）单调递减．
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 考查利用导数研究函数的单调区间和极值问题，求函数的单调区间实质是解不等式，属中档题．
相关问题
