在直角坐标系xOy 中，已知某二次函数的图象经过A（－4，0）、B（0，－3），与x轴的正半轴相交于点C，若△AOB∽△
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小题1:⑴∵△AOB∽△BOC（相似比不为1），
∴
. 又∵OA="4," OB=3,
∴OC=3 2×
=
. ∴点C(
, 0).…………………1分
设图象经过A、B、C三点的函数解析式是y=ax 2+bx+c,
则c= -3，且
…………………2分
即
解得,a=
, b=
.
∴这个函数的解析式是y =
x 2+
x-3.
小题2:⑵∵△AOB∽△BOC（相似比不为1），
∴∠BAO=∠CBO.
又∵∠ABO+ ∠BAO =90°，
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°. ………………4分
∴AC是△ABC外接圆的直径.
∴ r =
AC=
×[
-(-4)]=
.
小题3:⑶∵点N在以BM为直径的圆上，
∴∠MNB=90°.……………………6分
①.当AN=ON时，点N在OA的中垂线上，
∴点N 1是AB的中点，M 1是AC的中点.
∴AM 1=" r" =
，点M 1(-
, 0)，即m 1= -
. ………………7分
②.当AN=OA时，Rt△AM 2N 2≌Rt△ABO，
∴AM 2=AB=5，点M 2(1, 0)，即m 2=1.
③. 当ON=OA时，点N显然不能在线段AB上.
综上，符合题意的点M（m，0）存在，有两
m= -
，或1.
略
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