四边形ABCD是正方形,E,F分别是AD,AB的中点,PA,CG都垂直与平面ABCD,且PA=AF=1/2
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如图,以C为原点,CB为x轴,CD为y轴,CG为z轴建立空间直角坐标．
则依题意,有C（0,0,0）,B（4,0,0）,E（4,2,0）,
F（2,4,0）,D（0,4,0）,G（0,0,2）．
（1）CB=（4,0,0）,GE=（4,2,-2）,
∴|
CB|=4,|
GE|=2
6,
∴cos＜
CB,
GE＞=
168
6=
63…（4分）
（2）由题意可知,平面BCG的单位法向量a=（0,1,0）,
设平面BDG的单位法向量为b=（x,y,z）,
∵BG=（-4,0,2）,DG=（0,-4,2）,b⊥
BG,
b⊥
DG
得x2+y2+z2=1-4x+2z=0-4y+2z=0,∴x=
66y=
66z=
63,或x=-
66y=-
66z=-
63,
取b=(
66,
66,
63)
∴cos＜
a,
b＞=
a•
b|
a|•|
b|=(0,1,0)•(
66,
66,
63)=
66．…（8分）
（3）∵四边形ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,
∴EF∥BD且EF与BD间的距离为14|AC|=
2,
又|EF|=
12|BD|=2
2
∴S△DEF=
12×2
2×
2=2．
又GC⊥平面ABCD,所以GC为三棱锥G-DEF的高,
∴VD-GEF=VG-DEF=
13S△DEF|CG|=
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