已知函数f（x）=-lnx+[1/2ax2+（1-a）x+2．
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解题思路：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）构造函数g（x）=ln（1-x）-ln（1+x）+2x，利用导数求其最大值为0，即得结论；
（Ⅲ）利用斜率公式及导数的几何意义及（Ⅱ）的结论即可得证．
（Ⅰ）f′（x）=-[1/x]+ax+（1-a）=
(ax+1)(x−1)
x，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（Ⅱ）f（1+x）-f（1-x）=ln（1-x）-ln（1+x）+2x，
令g（x）=ln（1-x）-ln（1+x）+2x，
∴g′（x）=
2x2
x2−1，
∵0＜x＜1，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．
∴f（1+x）＜f（1-x）．
（Ⅲ）k=
y1−y2
x1−x2=
lnx2−lnx1
x2−x1+[1/2]a（x2-x1）+1-a，
f′（x0）=-[1
x0+ax0+1-a＞
lnx2−lnx1
x2−x1+
1/2]a（x2-x1）+1-a，⇔
2
x2+x1＜
lnx2−lnx1
x2−x1⇔ln
x2
x1＞2
x2
x1−1
x2
x1+1，
令x2＞x1＞0，
x2
x1−1
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，注意构造法的合理应用，逻辑性强，属于难题．
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