已知函数f（x）=lnx+[a/x+1]，a为常数．
1个回答
解题思路：（1）先利用导数求函数的极值、端点处函数值，比较它们大小关系，可得最小值、最大值；
（2）分离参数a后，构造函数求最值，利用导数可求最值；
（1）由题意f′(x)＝
1
x−
a
(x+1)2，
当a＝
9
2时，f′(x)＝
1
x−
9
2
(x+1)2＝
(x−2)(2x−1)
2x(x+1)2，
∵x∈[1，e]，∴f（x）在[1，2）上为减函数，[2，e]上为增函数，
又f(2)＝ln2+
3
2，f(1)＝
9
4，f(e)＝1+
9
2e+2，比较可得f（1）＞f（e），
∴f（x）的值域为[ln2+
3
2，
9
4]；
（2）由题意得g′(x)＝
1
x−
a
(x+1)2+1≤0在x∈[1，2]恒成立，
∴a≥
(x+1)2
x+(x+1)2＝x2+3x+
1
x+3恒成立，
设h(x)＝x2+3x+
1
x+3(1≤x≤2)，
则当1≤x≤2时h′(x)＝2x+3−
1
x2＞0恒成立，h（x）递增，
∴h(x)max＝h(2)＝
27
2，
∴a≥
27
2，即实数a的取值范围是[
27
2，+∞)．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的值域．
考点点评： 该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题，考查转化思想．
相关问题
