解题思路：（Ⅰ）设G为BC的中点，连接EG，AG，因BG=GC，B1E=EC，则EG∥BB1，且
EG＝
1
2
B
B
1
，又AD∥BB1，且
AD＝
1
2
B
B
1
，则EG∥AD，EG=AD，从而得到四边形ADEG为平行四边形，则DE∥AG，又AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，根据线面平行的判定定理可知DE∥平面ABC．
（Ⅱ）设F为BB1的中点，连接AF，CF，根据直三棱柱ABC-A1B1C1，且D是AA1的中点，则AF∥B1D，A1C1∥AC，从而∠CAF为异面直线A1C1与B1D所成的角或其补角．在Rt△ABF中，求出AF、CF，在△ABC中，求出AC，在△ACF中，即可求出∠CAF；
（Ⅲ）根据直三棱柱ABC-A1B1C1，则B1B⊥BC，又AB⊥BC，AB∩BB1=B，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面ABB1D，连接BD，在△BB1D中BD2+B1D2=BB12，根据勾股定理可知BD⊥B1D，根据BD是CD在平面ABB1D内的射影，则CD⊥B1D，从而∠CDB为二面角C-B1D-B的平面角，在△BCD中求出此角即可．
（Ⅰ）证明：如图，设G为BC的中点，连接EG，AG，
在△BCB1中，∵BG=GC，B1E=EC，∴EG∥BB1，且EG＝
1
2BB1，
又AD∥BB1，且AD＝
1
2BB1，∴EG∥AD，EG=AD，
∴四边形ADEG为平行四边形，∴DE∥AG，
又AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC．
（Ⅱ）如图，设F为BB1的中点，连接AF，CF，
∵直三棱柱ABC-A1B1C1，且D是AA1的中点，
∴AF∥B1D，A1C1∥AC，∴∠CAF为异面直线A1C1与B1D所成的角或其补角．
在Rt△ABF中，BF⊥AB，AB=1，BF=1，
∴AF＝
AB2+BF2＝
2，同理CF＝
2，
在△ABC中，∵AB⊥BC，AB=BC=1，∴AC＝
2，
在△ACF中，∵AC=AF=CF，∴∠CAF=60°．
∴异面直线A1C1与B1D所成的角为60°．
（Ⅲ）∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴B1B⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩BB1=B，∴BC⊥平面ABB1D．
如图，连接BD，
在△BB1D中，∵BD＝B1D＝
2， BB1＝2，
∴BD2+B1D2=BB12，即BD⊥B1D，
∵BD是CD在平面ABB1D内的射影，
∴CD⊥B1D，∴∠CDB为二面角C-B1D-B的平面角．
在△BCD中，∠CBD=90°，BC=1，BD＝
2
点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．
考点点评： 判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．
求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角．
