解题思路：（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=52DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2-PE2=DP2-254．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．
（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．
∵PH∥OA，
∴△CHP∽△COA．
∴[HP/OA]=[CH/CO]=[CP/CA]．
∵点P是AC中点，
∴CP=[1/2]CA．
∴HP=[1/2]OA，CH=[1/2]CO．
∵A（3，0）、C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∴HP=[3/2]，CH=2．
∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°，
∴∠CHP=∠COA=90°．
∴点P的坐标为（[3/2]，2）．
设直线DP的解析式为y=kx+b，
∵D（0，-5），P（[3/2]，2）在直线DP上，
∴
b＝−5
3
2k+b＝2
∴
k＝
14
3
b＝−5
∴直线DP的解析式为y=[14/3]x-5．
（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，
∵△DOM∽△ABC，
∴[DO/AB]=[OM/BC]．
∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．-5），
∴BC=3，AB=4，OD=5．
∴[5/4]=[OM/3]．
∴OM=[15/4]．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（[15/4]，0）
②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，
∵△DOM∽△CBA，
∴[DO/CB]=[OM/BA]．
∵BC=3，AB=4，OD=5，
∴[5/3]=[OM/4]．
∴OM=[20/3]．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（[20/3]，0）．
综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（[15/4]，0）或（[20/3]，0）．
（3）
∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=5．
∴PE=PF=[1/2]AC=[5/2]．
∵DE、DF都与⊙P相切，
∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．
∴S△PED=S△PFD．
∴S四边形DEPF=2S△PED
=2×[1/2]PE•DE
=PE•DE
=[5/2]DE．
∵∠DEP=90°，
∴DE2=DP2-PE2．
=DP2-[25/4]．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当DP⊥AC时，DP最短，
此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．
∵DP⊥AC，
∴∠DPC=90°．
∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，
∴△AOC∽△DPC．
∴[AO/DP]=[AC/DC]．
∵AO=3，AC=5，DC=4-（-5）=9，
∴[3/DP]=[5/9]．
∴DP=[27/5]．
∴DE2=DP2-[25/4]
=（[27/5]）2-[25/4]
=[2291/100]．
∴DE=
2291
10，
∴S四边形DEPF=[5/2]DE
=
2291
4．
∴四边形DEPF面积的最小值为
2291
4．
点评：
本题考点： 圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．
