在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,
1个回答

（1）建立空间坐标系A（2,0,0）,B（0,2 ,0）,C（-2,0,0）, S（0,0,2倍根号2）,M(1, 根号3,0),N(0,根号3 根号2, ).∴向量AC =（-4,0,0）,向量SB =（0,2 ,2 ）,则 向量AC• 向量SB=（-4,0,0）•（0,2 ,2 ）=0 得证

（2）由（1）得 向量CM=（3,根号3 ,0）, 向量MN=（-1,0, 根号2）.设向量n =（x,y,z）为平面CMN的一个法向量,有向量CM•向量n =3x+根号3 y=0, 向量MN• 向量n=-x+根号2 z=0,取z=1,则x= 根号2,y=-根号6 ,∴向量n =(根号2 ,-根号6 ,1),又 向量OS=(0,0,2根号2 )为平面ABC的一个法向量,∴cos( 向量n,向量OS )= 1/3 .∴二面角N-CM-B的大小为arccos 1/3

（3)由（1）（2）得向量MB=（-1,√3, 0）.向量n =(√2 ,-√6 ,1)为平面CMN的一个法向量,∴点B到平面CMN的距离d=｜向量MB*向量n｜/｜向量n｜=4√2/3

相关问题