（2005•浙江）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面

（2005•浙江）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

（Ⅰ）当k=[1/2]时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

（Ⅱ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

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方法一：

（Ⅰ）∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，又∵OP⊥平面ABC，∴PA=PB=PC．取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．

又OD∥PA，∴PA与平面PBC所成的角的大小等于∠ODF，在Rt△ODG中，sin∠ODF=[OF/OD]=

210

30，

∴PA与平面PBC所成角为arcsin

210

30．

（Ⅱ）由（I）知，OF⊥平面PBC，∴F是O在平面PBC内的射影．

∵D是PC的中点，

若点F是△PBC的重心，则B，F，D三点共线，

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，∵OB⊥PC，∴PC⊥BD，∴PB=BC，即k=1．

反之，当k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．

方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图）．

设AB=a，则A（

2

2a，0，0），B（0，

2

2a，0），C（-

2

2a，0，0），

设OP=h，则P（0，0，h）

（Ⅰ）∵k=[1/2]，即PA=2a，∴h=

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