1.f(x) =x 2 是否是集合MK 的元素,什么理由； 2.求证：当0
1个回答
1.对于f(x)=x²,当x1、x2∈(k,+∞)(k≥0),
f(x1)+f(x2)=x1²+x2²,
f(x1+x2)=(x1+x2)²=x1²+x2²+2x1x2,
故f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2),
即f(x)不是属于集合MK的元素；
2.当0＜a＜1时,对于f(x)=ax,当x1、x2∈(k,+∞)(k≥0),
f(x1)+f(x2)=ax1+ax2,
f(x1+x2)=a(x1+x2)=ax1+ax2,
故f(x1)+f(x2)=f(x1+x2),
即f(x)=ax(0＜a＜1)不是属于集合MK的元素；
3.对于f(x)=lgx,x1、x2＞0,
f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lgx1x2,
f(x1+x2)=lg(x1+x2),
欲f(x)∈MK,
则f(x1)+f(x2)＞f(x1+x2),
即lgx1x2＞lg(x1+x2),
那么x1x2＞x1+x2,
当x1=x2时,x1²＞2x1,
x2=x1＞2或x2=x1＜0(舍),
即k≥2；
当x1≠x2时,x1x2＞x1+x2＞2√x1x2,
x1x2＞4,
因为x1≥k≥0,x2≥k≥0,
所以x1x2≥k²,
有k²≥4,k≥2或k≤-2(舍),
综上,k≥2.
附：题目的意思应该是对于一个给定的k值,那么区间(k,+∞)就定下来了,那么对于区间内的任意x1、x2,都能使f(x)属于集合MK,所以第二种情况k²≥4；若k²＜4,x1x2就不一定会大于4,一旦x1x2≤4,那么f(x)就不属于集合MK.
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