“数学之美”团员448755083为你解答!
∠ADB = ∠AEB = ∠AFB = ∠AGB=α
在△ADB和△AEB中运用余弦定理可得
AB² = AD² + BD² - 2AD·BDcosα = AE² + BE² - 2AE·BEcosα
(AD + BD)² - 2AD·BD(1 + cosα) = (AE + BE)² - 2AE·BE(1 + cosα)
(AD + BD)² - (AE + BE)² = 2(AD·BD - AE·BE)(1 + cosα)
∵1 + cosα > 0
∴需要判断的就是AD·BD - AE·BE的符号
又有三角形面积
S△ABD = 0.5AD·BDsinα
S△ABE = 0.5AE·BEsinα
这两个三角形同底AB,地边上高显然是△ABD大,因此有S△ABD>S△ABE
可得AD·BD - AE·BE > 0
继而有(AD + BD)² - (AE + BE)² >0
AD + BD > AE + BE
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