请证明下面命题已知AB为圆上的不是直径,D.E.F.G均为圆上的点,DC垂直AB,证明(AD+DB)>(AE+EB
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“数学之美”团员448755083为你解答!

∠ADB = ∠AEB = ∠AFB = ∠AGB=α

在△ADB和△AEB中运用余弦定理可得

AB² = AD² + BD² - 2AD·BDcosα = AE² + BE² - 2AE·BEcosα

(AD + BD)² - 2AD·BD(1 + cosα) = (AE + BE)² - 2AE·BE(1 + cosα)

(AD + BD)² - (AE + BE)² = 2(AD·BD - AE·BE)(1 + cosα)

∵1 + cosα > 0

∴需要判断的就是AD·BD - AE·BE的符号

又有三角形面积

S△ABD = 0.5AD·BDsinα

S△ABE = 0.5AE·BEsinα

这两个三角形同底AB,地边上高显然是△ABD大,因此有S△ABD>S△ABE

可得AD·BD - AE·BE > 0

继而有(AD + BD)² - (AE + BE)² >0

AD + BD > AE + BE

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