如图，AB是半圆O的直径，过半圆O上的一点D分别作AB的垂线与半圆O的切线，交直线AB于点E与点C，过点B平行于CD的直
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解题思路：（1）若要证BF=DF，则需证∠BDE=∠DBF，∠BDC=∠DBF，再证∠BDC=∠BDE，由∠BDC+∠ODB=90°和∠BDE+∠OBD=90°即可证得．
（2）此题可先由（1）得∠BFE=∠BOD，在Rt△BEF中求得各边的长，则DF也可求出，再由BF∥DC得[BE/BC]=[EF/DF]，解得BC的长．
（1）证明：∵CD是切线，∴OD⊥CD，即∠BDC+∠ODB=90°．
∵DE⊥AB，∴∠BDE+∠OBD=90°．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．
∴∠BDC=∠BDE．
又∵BF∥CD，∴∠BDC=∠DBF．
∴∠BDE=∠DBF．
∴BF=DF．
（2）∵∠BOD+∠ODE=90°，∠CDE+∠ODE=90°，
∴∠BOD=∠CDE．
又∵BF∥CD，∴∠BFE=∠CDE．
∴∠BOD=∠BFE．
在Rt△BEF中，∵sin∠BFE＝
BE
BF＝
4
5，
∴BE＝
4
5BF．
∵BE2+EF2=BF2，∴(
4
5BF)2+32＝BF2，
解得BF=5．∴BE=4，DF=5．
∵BF∥DC，∴[BE/BC]=[EF/DF]，得[4/BC＝
3
5]，
∴BC＝
20
3．
点评：
本题考点： 切线的性质；解直角三角形．
考点点评： 本题考查了切线的性质、解直角三角形等综合性问题，难度稍大．
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