如图，D是线段AB上的一点，BD=2AD=4，以BD为直径作半圆O，过点A作半圆O的切线，切点为E，过点B作BC⊥AE于
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解题思路：①由切线的性质和解直角三角形得到∠A=30°；
②如图，连接DF．根据圆周角定理和平行线的判定推知AC∥DF，则平行线分线段成比例，即[BF/BC]=[BD/BA]，由此可以求得BF=2CF；
③由平行线的性质得到DF⊥OE，则根据垂径定理和圆周角、弧、弦的关系进行解答；
④由圆周角、弧、弦的关系和旋切角定理求得内错角∠CEF=∠EFD，则EF∥AB．
①如图，连接OE．
∵AE是切线，
∴AE⊥OE，即∠AEO=90°．
∵BD=2AD=4，
∴OE=OD=2，
∴AO=AD+OD=2OE，
∴∠A=30°；
故①正确；
②如图，连接DF．
∵BD是直径，∴DF⊥EF．
又∵AC⊥BC，
∴AC∥DF，
∴[BF/BC]=[BD/BA]，由比例的性质得到[BF/CF]=[BD/DA]=2，即BF=2CF．故②错误；
③如图，假设DF交OE于点G．
∵AC∥DF，AE⊥OE，
∴DF⊥OE，
∴DG=FG，
∴
DE=
EF．
故③正确；
④如图，连接DE．
∵
DE=
EF．
∴∠EDF=∠EFD．
又∵AC是切线，
∴∠CEF=∠EDF，
∴∠CEF=∠EFD，
∴EF∥AB．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案是：①③④．
点评：
本题考点： 切线的性质．
考点点评： 本题综合考查了切线的性质，圆周角定理以及垂径定理等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
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