如图，已知抛物线y= 1 2 x 2 -2x+1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交

如图，已知抛物线y=

1

2

x 2-2x+1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连接O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A

落在点D的位置．

（1）求直线l的函数解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得S △DQC=S △DPB？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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（1）配方，得y=

1

2 （x-2） 2-1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P（2，-1）．（1分）

取x=0代入y=

1

2 x 2-2x+1，

得y=1，

∴点A的坐标是（0，1）．

由抛物线的对称性知，点A（0，1）与点B关于直线x=2对称，

∴点B的坐标是（4，1）．（2分）

设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），将B、P的坐标代入，

有

1=4k+b

-1=2k+b ，

解得

k=1

b=-3 ∴

∴直线l的解析式为y=x-3．（3分）

（2）连接AD交O′C于点E，

∵点D由点A沿O′C翻折后得到，

∴O′C垂直平分AD．

由（1）知，点C的坐标为（0，-3），

∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，

∴O′C=2

5 ．

据面积关系，有

1

2 ×O′C×AE=

1

2 ×O′A×CA，

∴AE=

4

5

5 ，AD=2AE=

8

5

5 ．

作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF ∽ Rt△CO′A，

∴

AF

AC =

DF

O′A =

AD

O′C ，

∴AF=

AD

O′C •AC=

16

5 ，DF=

AD

O′C •O′A=

8

5 ，（5分）

又∵OA=1，

∴点D的纵坐标为1-

8

5 =-

3

5 ，

∴点D的坐标为（

16

5 ，-

3

5 ）．（6分）

（3）显然，O′P ∥ AC，且O′为AB的中点，

∴点P是线段BC的中点，

∴S △DPC=S △DPB．

故要使S △DQC=S △DPB，只需S △DQC=S △DPC．（7分）

过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S △DPC，

故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．

容易求得过点C（0，-3）、D（

16

5 ，-

3

5 ）的直线的解析式为y=

3

4 x-3，

据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=

3

4 x-

5

2 ．

令

1

2 x 2-2x+1=

3

4 x-

5

2 ，

解得x 1=2，x 2=

7

2 ，

代入y=

3

4 x-

5

2 ，得y 1=-1，y 2=

1

8 ，

因此，抛物线上存在两点Q 1（2，-1）（即点P）和Q 2（

7

2 ，

1

8 ），使得S △DQC=S △DPB．（9分）

（仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣1分）

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