如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点
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解题思路：设P（x，0），Q（a，a），再分AB是平形四边形的边与对角戏两种情况进行讨论即可．
如1，∵P是x轴上一动点，点Q在直线y=x上，
∴设P（x，0），Q（a，a），
当AB是平形四边形的边时，
∵AB=3-1=2，
∴PQ=AB=2，
∴a=±2，
∴P1（-2，0），Q1（-2，-2）或P2（2，0），Q2（2，2）；
如图2，当AB是平形四边形的对角线时，
BQ=AP是a2+（a-3）2=x2+12，即2a2-6a=x2-8①；
PB=AQ是a2+（a-1）2=32+x2，即2a2-2a=x2-9②．
①-②得a=4，把a=4代入①得，17=1+x2，
解得x=±4，
∴P3（-4，0），Q3（4，4）或P4（4，0），Q4（4，4）（舍去）．
点评：
本题考点： 一次函数综合题．
考点点评： 本题考查了一次函数的性质，与四边形结合，使得题目难度较大，数形结合与分类讨论思想的应用，使得题目妙趣横生．
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