在△ABC中,设BC=a,AB=c,CA=b,若（b+a）/a=sinB/（sinB-sinA）,cos2C+cosC=

在△ABC中,设BC=a,AB=c,CA=b,若（b+a）/a=sinB/（sinB-sinA）,cos2C+cosC=1-cos(A-B).试判断△ABC形状.

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2个回答

直角三角形

因为a/sinA=b/sinB=c/sinC

所以

（b+a）/a=sinB/（sinB-sinA）

1+b/a=sinB/(sinB-sinA)

1+sinB/sinA=sinB/(sinB-sinA)

(sinA+sinB)/sinA=sinB/(sinB-sinA)

sinAsinB=(sinB)^2-(sinA)^2.（1）

又

cos2C+cosC=1-cos(A-B)

cos2C=1+cos(A+B)-cos(A-B)

cos2C=1-2sinAsinB

因为（1）

所以cos2C=1-2(sinB)^2+2(sinA)^2

2(cosC)^2-1=1-2(sinB)^2+2(sinA)^2

(cosC)^2=1-(sinB)^2+(sinA)^2

1-(sinC)^2=1-(sinB)^2+(sinA)^2

(sinB)^2=(sinC)^2+(sinA)^2 .（2）

又由a/sinA=b/sinB=c/sinC得a^2/(sinA)^2=b^2/(sinB)^2=c^2/(sinC)^2

b^2/(sinB)^2=(a^2+c^2)/[(sinA)^2+(sinC)^2]

因为（2）所以b^2=a^2+c^2

所以是直角三角形

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