设函数f(x)＝−12cos2x+2acosx−2a+32的最大值为g（a）．

设函数

f(x)＝−

1

2

cos2x+2acosx−2a+

3

2

的最大值为g（a）．

（1）求g（a）；

（2）是否存在实数a使得g（a）=2若存在求出a及此时f（x）的最大值，

若不存在说明理由．

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4个回答

解题思路：（1）利用二倍角公式化简f（x）的解析式为-cos2x+2acosx-2a+2，令cosx=t，t∈[-1，1]，可得

f（t）=-t2+2at-2a+2对称轴为t=a，分a≤-1时，-1＜a＜1时，a≥1时，利用函数的单调性，分别求出g（a）．（2）令 g（a）=2，求出a值，此时，f（x）=2-cos2x，最大值为3．

（1）f(x)＝−

1

2cos2x+2acosx−2a+

3

2=-cos2x+2acosx-2a+2

令cosx=t，t∈[-1，1]，∴f（t）=-t2+2at-2a+2对称轴为t=a，

当a≤-1时，函数f（t）在[-1，1]上是减函数，∴g（a）=f（-1）=-4a+1．

当-1＜a＜1时，g（a）=f（a）=a2-2a+2．

当a≥1时函数f（t）在[-1，1]上是增函数，∴g（a）=f（1）=1．

综上，g（a）=

−4a+1a≤−1

a2−2a+2−1＜a＜1

1a≥1．

（2）令-4a+1=2，解得 a=-[1/4]，不满足条件．

令a2-2a+2=2，解得 a=0，或 a=2（舍去）．

故存在 a=0，使得g（a）=2成立．

此时，f（x）=2-cos2x，最大值为3．

点评：

本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题考查二倍角公式，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，分诶讨论求出 g（a）是解题的难点．

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