设a为实数,记函数f(x)=a√(1-x^2)+√(1+x)+√(1-x)的最大值为g(a)

设a为实数,记函数f(x)=a√(1-x^2)+√(1+x)+√(1-x)的最大值为g(a)

(1)设t=√(1+x)+√(1-x),求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t)

(2)求g(a)

可以的话请用mathtype或类似软件解题,

好的话会酌情加分!

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t=√(1+x)+√(1-x)

t²=1+x+1-x+2√[(1+x)(1-x)]=2+2√[(1+x)(1-x)]

显然t²的范围是（2,4）,t的范围就是[√2,2]

所以：√(1-x²)=√[(1+x)(1-x)]=(t²-2)/2（因为此处定义域是符合要求的,所以可以拆分）

f(x)=m(t)=a(t²-2)/2+t （√2≤t≤2）

2：

当a=0时,f(x)=t,而t的最大值为2,这时f(x)的最大值就是g(a)=2

当a＜0时,f(x)的最大值其实就是m(t)的最大值,

m(t)=a/2t²+t-a

这时一个二次函数,当t=-1/a时,m(t)取得最大值-1/(2a)-a.不过,这一值不是可以取的,因为t是有取值范围的,所以要想在这里取得最大值,那么a也要满足t的取值范围,即要：

√2≤-1/a≤2→-1/√2≤a≤-1/2.所以总结起来就是,当

-1/√2≤a≤-1/2时,取的最大值-1/(2a)-a

当a＜-1/√2即-1/a＜√2时,也就是该二次函数的对称轴在t的最小值的左边,从图像上就可以判断,此时m(t)的最大值就是当t取√2的时候,即此时

g(a)=√2

当-1/2＜a＜0即-1/a＞2时,也就是该二次函数的对称轴在t的最大值的右边,

从图像上就可以判断,此时m(t)的最大值就是当t取2的时候,即此时

g(a)=a+2

当a＞0时,二次函数m(t)开口向上,且对称轴小于0,从图像上就可以看出,此时m(t)的最大值就是当t取2时的最大值,即此时

g(a)=a+2

综合前面所有的结论：

当a≤-1/√2时,g(a)=√2；………………………………情况①

当-1/√2≤a≤-1/2时,g(a)=-1/(2a)-a…………………情况②

当a＞-1/2时,g(a)=a+2……………………………………情况③

（情况③中,其实就是将当a=0时也包括进去了,因为当a=0时,符合这一函数）

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