设an＝logn+1(n+2)，(n∈N*)，定义使a1a2a3…ak为整数的数k（k∈N*）叫做数列{an}的企盼数，
2个回答
解题思路：先利用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…ak化为log2（k+2），再根据a1•a2•a3…ak为整数，可得k=2n-2，进而由等比数列前n项和公式可得结论．
∵an=logn+1（n+2）=
log2(n+2)
log2(n+1)
∴a1•a2•a3…ak=
log23
log22×
log24
log23…×
log2(k+2)
log2(k+1)=log2（k+2），
又∵a1•a2•a3…ak为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-2．
∴k∈[1，2009]内所有的企盼数的和M=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）=
4(1−29)
1−2−2×9=2026
故答案为：2026．
点评：
本题考点： 数列与函数的综合．
考点点评： 本题考查新定义，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
相关问题
