（2012•梅州一模）已知函数f(x)＝lnx−a - 已解决

（2012•梅州一模）已知函数f(x)＝lnx−a(x−1)x+1．

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解题思路：（1）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，通分后根据函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，得到分子大于0恒成立，解出2a-2小于等于一个函数关系式，利用基本不等式求出这个函数的最小值，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围；

（2）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证ln[m/n]-

−1)

＞0，根据（1）得到h（x）在x大于等于1时单调递增，且[m/n]大于1，利用函数的单调性可得证．

（1）f′（x）=[1/x]-

a(x+1)−a(x−1)

(x+1)2=

(x+1)2−2ax

x(x+1)2=

x2+(2−2a)x+1

x(x+1)2，

因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立

即x²+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，

当x∈（0，+∞）时，由x²+（2-2a）x+1≥0，

得：2a-2≤x+[1/x]，

设g（x）=x+[1/x]，x∈（0，+∞），

则g（x）=x+[1/x]≥2

x•

x=2，当且仅当x=[1/x]即x=1时，g（x）有最小值2，

所以2a-2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（-∞，2]；

（2）要证[m−n/lnm−lnn＜

m+n

2]，只需证

n−1

n＜

n+1

2，

即ln[m/n]＞

n−1)

n+1，即ln[m/n]-

n−1)

n+1＞0，

设h（x）=lnx-

2(x−1)

点评：

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握不等式恒成立时所满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．在证明第（2）时注意利用第（1）问中的结论．