原式=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4＋5)+.(1+2+3+4+5.+(k-1)+k)
求怎样用k来表达这个式的值,要化简过的.不要给我有剩略号的式子,也不要跟我说用编程.请给出过程.
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这类题目,你做了一道,其他类似的就全知道了.
首先要记住两个公式
1+2+...+k=(1+k)*k/2
1^2+2^2+...+k^2=k(K+1)(2k+1)/6
看下面规律:
1=[(1+1)*1]/2=(1/2)*(1+1^1)
1+2=[(1+2)*2]/2=(1/2)*(2+2^2)
1+2+3=[(1+3)*3]/2=(1/2)*(3++3^2)
.
1+2+3+...+k=[(1+k)*k]/2=(1/2)*(k+k^2)
1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4＋5)+.(1+2+3+4+5.+(k-1)+k)
=(1/2)*(1+1^2)+(1/2)*(2+2^2)+.+(1/2)*(k+k^2)
=(1/2)(1+2+3+...+k)+(1/2)(1^2+2^2+3^2+.+k^2)
==1/2[(1+k)*k/2+k(k+1)(2k+1)/6]
=1/2[1/6*k(k+1)(3+2k+1)
=1/12k(k+1)(2k+4)
=1/6k(k+1)(k+2)
实际上,这道题就是下面的公式6
数列求和常用公式：
1）1+2+3+.+n=n(n+1)÷2
2）1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6
3） 1^3+2^3+3^3+.+n^3=( 1+2+3+.+n)^2
=n^2*(n+1)^2÷4
4） 1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)÷3
5） 1*2*3+2*3*4+3*4*5+.+n(n+1)(n+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4
6） 1+3+6+10+15+.
=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+.+(1+2+3+...+n)
=[1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6
7）1+2+4+7+11+.
=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+.+(1+1+2+3+...+n)
=(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)]/2
=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6
8）1/2+1/2*3+1/3*4+.+1/n(n+1)
=1-1/(n+1)=n÷(n+1)
9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+.+1/(1+2+3+...+n)
=2/2*3+2/3*4+2/4*5+.+2/n(n+1)
=(n-1) ÷(n+1)
10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+.+(n-1)/2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n
11）1^2+3^2+5^2+.(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷3
12）1^3+3^3+5^3+.(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
13）1^4+2^4+3^4+.+n^4
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷30
14）1^5+2^5+3^5+.+n^5
=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 12
