矩阵可对角化的条件
n阶方阵A可以对角化的充要条件：A有n个线性无关的特征向量.
如何对角化矩阵?
考虑矩阵
A=begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \
0 & 3 & 0 \
2 & -4 & 2 end{bmatrix}.
这个矩阵有特征值
lambda_1 = 3,quad lambda_2 = 2,quad lambda_3= 1.
所以 A 是有三个不同特征值的 3 × 3 矩阵,所以它是可对角化的.
如果我们要对角化 A,我们需要计算对应的特征向量.它们是
v_1 = begin{bmatrix} -1 \ -1 \ 2 end{bmatrix},quad v_2 = begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 end{bmatrix},quad v_3 = begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 2 end{bmatrix}.
我们可以轻易的验证 A v_k = lambda_k v_k.
现在,设 P 是有这个特征向量作为纵列的矩阵:
P=
begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \
-1 & 0 & 0 \
2 & 1 & 2 end{bmatrix}.
则 P 对角化了 A,简单的计算可验证:
P^{-1}AP =
begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \
2 & 0 & 1 \
-1 & 1 & 0 end{bmatrix}
begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \
0 & 3 & 0 \
2 & -4 & 2 end{bmatrix}
begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \
-1 & 0 & 0 \
2 & 1 & 2 end{bmatrix} =
begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \
0 & 2 & 0 \
0 & 0 & 1end{bmatrix}.
注意特征值 lambda_k 出现在对角矩阵中.
矩阵对角化应用
对角化可被用来有效的计算矩阵A的幂,假如矩阵是可对角化的.比如我们找到了
P^{-1}AP = D ,
是对角矩阵,因为矩阵的积是结合的,
begin{align} A^k &= (PDP^{-1})^k = (PDP^{-1}) cdot (PDP^{-1}) cdots (PDP^{-1}) \
&= PD(P^{-1}P) D (P^{-1}P) cdots (P^{-1}P) D P^{-1} = PD^kP^{-1} end{align}
而后者容易计算,因为它只设计对角矩阵的幂.
矩阵相似
设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B.
相似对角化的意义
矩阵的相似对角化意义是明显的.相似是一种等价关系,对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式,这对理论分析是方便的.相似的矩阵拥有很多相同的性质,比如特征多项式,特征根,行列式……如果只关心这类性质,那么相似的矩阵可以看作没有区别的,这时研究一个一般的可对角化的矩阵,只要研究它的标准形式,一个对角矩阵就可以了.而对角矩阵是最简单的一类矩阵,研究起来非常方便.这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究.
另外,对角化突出了矩阵的特征值,而过度矩阵T反映了特征向量的信息,对角化过程的直观意义还是很明显的.再结合正交矩阵的概念,可以得到一些不平凡的结论,例如实对称矩阵总可以对角化.
实践中的矩阵对角化作用也很大.别的不说,比如要算一个一般的3阶实对称矩阵A的n次幂,n较大时,按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的,计算复杂度呈指数型增长.但是如果把A可以对角化(实对称矩阵总是可以对角化的),写为=T^(-1)PT,P是对角阵.那么A^n=T^(-1)P^nT,P^n的计算是很简单的,只要把各特征值^n即可,此时计算A^n的复杂度几乎与n无关.
