关于柯西欧拉微分方程的,我书上面给的例子x^2y''-4xy'+6y=0,用柯西XX来解决,可以令x=e^v,然后dx=
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（1）首先说明有个概念错误,不是D=2,D=3,

D本身表示的d/dv ,是个算子（符号而已）,

D(D-1)y-4Dy+6y=0 可写成（D-2）（D-3)y=0 熟悉算子代数可用算子代数解.但

（D-2）（D-3)y=d²y/dv²-5dy/dv+6y=0 这个齐次方程很简单,

特征方程为λ²-5λ+6=（λ-2）（λ-3）=0 特征值λ=2,3

方程解为y=C1*exp(2v)+C2*exp(3v)=c1x²+c2x³

（2）x^3y'''+7x^2y''+10xy'+2=0按同样方法可改变为

[D(D-1)(D-2) +7D(D-1)+10D]y+2=0 [D³+4D²+5D]y+2=0

实际上是 d³y/dv³+4dy²/dv²+5dy/dv+2=0

很明显有一特解y=-2v/5 令 y=z-2v/5

d³z/dv³+4dz²/dv²+5dz/dv=0

特征方程为λ³+4λ²+5λ=0,特征值λ=0,-2+√(-1),-2-√(-1)

解得 z=c1+c2exp((-2+√(-1))v)+c3exp((-2-√(-1))v)

=c1+exp(-2v) [(c2+c3)cos(v)+√(-1)(c2-c3)sin(v)]

注意到z为实函数,所以 c1,c2+c3为实数 ,c2-c3为纯虚数(即c2,c3为共轭复数)

设c1=C, c2+c3=A c2-c3=-B√(-1) 其中 A,B,C为任意实数

则z=C+exp(-2v)[Acos(v)+Bsin(v)]=C+[Acos(lnx)+Bsin(lnx)]/x²

y= C+[Acos(lnx)+Bsin(lnx)]/x²-2ln(x)/5

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