先证 a ≠ 0
考察 A 的行列式 |A|
将第 2-n 列加到第1列,则第1列全变为 a.
所以如果 a = 0,那么 |A| = 0,矛盾.
再证 A^(-1) 的各行元素和为 1/a
令 x = (1,1,...,1)^T,也就是 x 是全 1 的 n 维列向量.
因为 A 的各行元素和为 a,所以：A x = a x
也就是说：a 是 A 的一个特征值,x 为它对应的特征向量.
A^(-1) x = (1/a) A^(-1) (a x) = (1/a) A^(-1) (A x) = (1/a) x
也就是说：1/a 是 A^(-1) 的一个特征值,x 为它对应的特征向量.
所以：A^(-1) 的各行元素和为 1/a
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